対称式の項にもわからない演習問題がある体たらく
高校数学をやりなおすことにしました。とりあえず第1章「数と式」から始めて、現在は 第1章の5️⃣ 対称式 。演習問題がひとつ解けなかった。
解けなかった問題
$t + \frac{1}{t} = 3 (t > 1)$ のとき、 $t^{2} - \frac{1}{t^{2}}$ の値を求めよ。
$t^{2} - \frac{1}{t^{2}}$ は $(t + \frac{1}{t})(t - \frac{1}{t})$ と因数分解できることを当然まずは思いつくわけですが、ここで一旦この式から離れて $t - \frac{1}{t}$ の値を検討してみよう、となるらしい。
前提として使える $t + \frac{1}{t} = 3 (t > 1)$ を利用するために、 $t - \frac{1}{t}$ を直接ではなく $(t - \frac{1}{t})^{2}$ の値を検討してみる、という発想ができないといけない。そういう発想ができる時点で、もう答えまでの道のりは頭に浮かんでいるんだろうな。
$$ \begin{align} (t - \frac{1}{t})^{2} &= t^{2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} \newline &= t^{2} - 2 + \frac{1}{t^{2}} \newline &= t^{2} + 2 + \frac{1}{t^{2}} - 4 \newline &= (t + \frac{1}{t})^{2} - 4 \newline &= 3^{2} - 4 \newline &= 5 \end{align} $$
というわけで $$ \begin{align} t - \frac{1}{t} &= \pm \sqrt{5} \newline t > 1 から& t - \frac{1}{t} > 0 なので \newline t - \frac{1}{t} &= \sqrt{5} \end{align} $$
ここでもとの式に戻ってきて、 $$ \begin{align} t^{2} - \frac{1}{t^{2}} &= (t + \frac{1}{t})(t - \frac{1}{t}) \newline &= 3\sqrt{5} \end{align} $$
